二维连续图案的对称性及其变换的初探

一、引言
        图案，“顾名思义”即：图形的设计方案。一般而言，只要是非再现性的图形表现都可以被称为图案。从狭义上讲，图案则专指那些具有某种对称性的平面图形[1]，而那些没有任何对称性的绘画只能被笼统的称之为图形。所谓“连续图案”，指以周期性平移对称为主导所组织形成的图案，是将某一图形作为基本单元图形，依据一定的空间节律将其重复平移排列所形成的图案。

图1周期性平移格子

        可见，图案与几何学有着紧密的联系。尤其是对连续图案而言，其背后更暗藏着对称的法则，这些对称法则通常可以用数学中的群论来加以规定和阐述。虽然艺术创作并不需要高深的数学证明，但也绝不能忽视数学对图案艺术所起的巨大作用。全面、系统的认识平面图案中所具有的几何对称性，是每个图案创作者所需具备的知识。

二、二维连续图案的网格和对称类型
         对称是一个复杂的概念[2]，粗略的讲，对称意味着在某种变换下的不变性。所谓的某图形具有对称性，是指其能够使自己的某一个部分在经过某种变换后，能够与其另外的部分发生完全的重合。其中，变换的方式被称为对称方式，每一个重合的部分被称为“单元图形”。在平面空间中，图案的对称方式主要有4种：反映对称（又称镜像）、旋转对称、平移对称、滑动反映（平移+反映）。
         在连续图案中，各种对称方式并不是单独存在的，而往往是组合在一起出现的。单元图形间的整体周期性平移是连续图案所必须具有的对称属性，而其它的对称方式则是可多可少的，甚至可以一个都没有。当旋转对称在连续图案的单元之间发生时，就要求旋转对称必须与周期性平移对称彼此相容，因而旋转次数就会受到一定的限制，只允许有二次（180°）、三次（120°）、四次（90°）、和六次（60°）的旋转对称存在[3]。
        依据周期性平移排列的维度不同，连续图案可被分为一维连续图案和二维连续图案。一维连续图案又被称为“二方连续纹样”，本文不再赘述。二维连续图案是指能够填满整个平面并无限延展的图案。二维连续图案的周期性平移形成平行四边形格子，有三个参数变量，即两种矢量长度a、b以及二者之间的夹角?，可得五种不同的网格,如图1所示。将所有的对称方式组合在一起，可得二维连续图案共有十七种对称类型，如图2所示。

图2二维连续图案的十七种对称类型示意
两种灰色“L”形示意手性不同的任意图形，黄色点示意旋转轴，绿线示意旋转的边界（突出的小三角示意其旋转方向），蓝色线示意反映线。

三、二维连续图案的网格变换
        从某种意义上说，二维连续图案也可以被理解为将平面空间分割成相等的区域，即由全等的形状所连接而组成的“网格”去覆盖整个平面。
        由周期性平移所得的5种平移网格，是以全等凸多边形组成连续图案的最基本的类型，即平行四边形，矩形，菱形，正方形和正六边形。依据这5种凸多边形所具有的对称性，对它们进行等分，直至完全没有对称性，可获得多种新的凸多边形，详见图3。 

图4 网格的对称变换

 

综上所述，对于以全等形状的网格来覆盖平面，可总结为如下几种情况：
       （1）任意三边形都能够组成连续图案的网格。
       （2）任意四边形都能够组成连续图案的网格。
       （3）通过对称变换后形成的五边形网格。
       （4）通过对称变换后形成的六边形网格，和有一组对边平行且相等的六边形（由平行四边形与两个三边形组合而成）。
       （5）通过四种对称变换方式，网格可以是由曲线构成的自由形态。
       （6）大于六边的凸多边形无法作为连续图案的网格。
        连续图案的网格既然可以变换成自由的形态，那么以充满动态感的具象图形构成连续图案便成为可能。而且在不影响网格“边界”的情况下，可以在网格内部随意的添加细节内容，以使形象更鲜活、生动。荷兰伟大的图形艺术家埃舍尔（M.C.Escher，1898-1972)对镶嵌图案进行了一系列非同寻常的形象化和动态化的设计，极大的拓展了连续图案的艺术表现力。以他所作的一系列蜥蜴主题绘画为例，如在图5-1中，对正方形网格作对称变换后形成生动的蜥蜴形象，其仍然遵循着四次旋转对称操作；在图5-2中，对60°菱形网格作对称变换后同样可以形成蜥蜴的形象，其遵循着三次旋转对称操作。可见，即使是使用同一种素材，只要应用的对称类型不同，也会创作出不同的连续图案。
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（a）四次旋转蜥蜴镶嵌图案             （b）三次旋转蜥蜴镶嵌图案
  

图5 埃舍尔的具象镶嵌图案：蜥蜴

四、总结与展望
        当艺术的“美”被高度的抽象时，它便呈现出了科学的“真”[4]。对称性规律普遍存在于自然界和人类社会中，其无论在科学领域还是艺术领域都具有极为重要的意义。几何对称性既是对创作的约束，也是创作的本源。通过深入的认识连续图案的对称性，我们可以更容易的组织连续图案的结构，展现图案的对称美感。尤其是通过挖掘动态的对称美，可以更好的展现出连续图案的空间艺术表现力。正如李政道院士所指出的：对称绝不是静止的，从整体而言，对称也存在于动态的变化过程中[5]。
        作为一种有规律的重复性工作，连续图案的设计极为适合利用计算机来完成。而且计算机图形技术为图案的动态表现、图形的渐变转换提供了更为有效的设计平台。连续图案的设计艺术必将在当今计算机广泛应用的新时代，焕发出更加强烈的生命力。

注释：
[1] 参见多萝西•沃什伯恩、唐纳德•W•克罗：《设计艺术原理：设计•对称性设教程与解析》，沈晓平译，天津大学出版社，2006，第16页。
[2] 在《对称》一书中，赫尔曼•外尔（Hermann Weyl）将对称定义为：组元的构形在其自同构变换群作用下所具有的不变性。
[3] 在晶体学中，这种限制被称为晶体对称定律（law of crystal symmetry）。晶体对称定律的证明可参见：肖序刚：《晶体结构几何理论》，第二版，高等教育出版社，北京，1993．第83-84页。
[4] 施倪承、李国武：“对称与晶体学”，《自然杂志》，2008，30（1），第44-49页。
[5] 参见李政道：《对称与不对称》，清华大学出版社，北京，2000。

图片来源：
1． 周期性平移格子。作者自绘。
2． 二维连续图案的十七种对称类型示意，两种灰色“L”形示意手性不同的任意图形，黄色点示意旋转轴，绿线示意旋转的边界（突出的小三角示意其旋转方向），蓝色线示意反映线。作者自绘。
3． 五种网格的等分：红色线为五种网格，蓝色线为等分线，分割的新凸多边形以灰色表示。作者自绘。
4． 网格的对称变换。作者自绘。
5． 埃舍尔的具象镶嵌图案：蜥蜴，5-1是四次旋转，5-2是三次旋转。作者自绘，原始图片源自埃舍尔官方网站，http://www.mcescher.com.